Límites

¿Qué es un límite?

El límite de una función en un punto es obtener el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto (x0), pero sin llegar a ese punto.

Cuando x tiende a x0 se va acercando a L

Límite lateral

• Se llama límite lateral por la izquierda de la función f en el punto x0, al valor al que tiende la función cuando los valores de x que se aproximan a x0 son menores que x0. Se expresa con un signo - sobre el punto
• Se llama límite lateral por la derecha de la función f en el punto x0, al valor al que tiende la función cuando los valores de x que se aproximan a x0 son mayores que x0. Se expresa con un signo + sobre el punto

Cómo calcular los límites

Método I

Cuando x tiende a x0 , y el dominio de la función es todo R (la función es continua en todo R), como por ejemplo en polinomios, el límite de la función en un punto se va a calcular igual que el valor de la función en ese punto, es decir, sustituyendo el valor por la x.

Una función es continua en x = a si: Existe f(a). Los dos límites laterales existen, son números reales y coinciden. El valor del límite coincide con el de la imagen.

Si los límites laterales no coinciden, no existe límite. Se trata de un discontinuidad, esta puede ser de salto finito o infinito.

Método II

En una función discontinua, para calcular el límite en el punto donde se corta la función, hay que hacer los límites laterales y para ello sustituir en los trozos adecuados.

Los límites no sólo se ven en puntos concretos, sino que se puede observar la tendencia de la función si en el eje de abscisa se aleja mucho, tanto a valores positivos como negativos, y el resultado de estos límites serán números reales o también infinito.

Método III

Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o -∞, se comportan del mismo modo que su término de mayor grado:

Indeterminaciones

Indeterminación k/0

Una indeterminación del tipo k/0 ocurre cuando al calcular el límite en un punto, la función del denominador tiende a cero pero la del numerador no. El resultado es siempre infinito, pero para ver el signo se hace el límite cuando x tiende al punto por la izquierda y el límite cuando tiende por la derecha, es necesario calcular sus límites laterales.

Indeterminación 0/0

Cuando ocurre esto, hay que simplificar la fracción y para ello factorizar los polinomios del numerador y denominador.

Una vez hecho esto y simplificada la expresión, la indeterminación habrá desaparecido y se podrá calcular el límite.

Indeterminación ∞ / ∞

No es igual a 1 porque no se sabe si esos infinitos son iguales o uno es mucho más grande que otro. Es decir, hay que averiguar qué relación hay entre esos infinitos.

Para resolver la indeterminación ∞ / ∞, hay que fijarse en los términos de mayor grado del numerador y del denominador, y calcular en base a ello el  límite.

• Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado del límite será ±∞.
• Si los grado son iguales, el resultado será el número que resulte de dividir los dos coeficientes.
• Si el grado del denominador es mayor, el resultado será 0.

Indeterminación ∞ - ∞

Esta indeterminación puede presentarse de varias formas. En principio, si se trata de una resta, es cuestión de comparar grados y ver cuál es mayor:

Indeterminación 1∞