Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Raíces de un polinomio
Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio, por tanto su valor númerico es cero.
P(a) = 0
Ejemplo:
P(x) = x² − 5x + 6
P(2) = 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 son raíces del polinomio P(x) = x² − 5x + 6, ya que P(2) = 0 y P(3) = 0.
Propiedades de las raíces
- Los raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.
- A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
- Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.
- La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que es lo mismo, admite como factor x.
- Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.
Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto(nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a) y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.
Ejemplo: P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6
- Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
- Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
- Dividimos por Ruffini.
- Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.