No podemos definir las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º a través de un triángulo rectángulo, ya que no pude tener un ángulo mayor de 90º.
Circunferencia goniométrica
Para ello vamos a utilizar una circunferencia goniométrica, es decir, una circunferencia de radio 1 en un sistema de ejes de coordenadas cartesianas.
Cada punto de la circunferencia representa un ángulo.
Al dibujar un triángulo en ella, la hipotenusa es igual a uno.
Así, senα (cateto opuestohipotenusa) es igual a cateto opuesto1= cateto opuesto, es decir, la proyección de este lado sobre el eje y.
De la misma forma cosα (cateto contiguohipotenusa) es igual a cateto contiguo1= cateto contiguo, es decir, la proyección de este lado sobre el eje x.
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Por lo tanto: sen(α)= y; cos(α)= x.
Para estos cálculos, en lugar de utilizar los grados sexagesimales, empleamos los radianes.
Radián (rad): Es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.
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Es decir, si nuestra circunferencia tiene radio 
, un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud 
:
, un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud :
En general, la medida en radianes de un ángulo en una circunferencia es igual a la longitud del arco que abarca dividida entre el radio de dicha circunferencia:
Ɵrad=Longitud del arcoR
Así si tomamos una circunferencia, cuya longitud es 2𝝅r
Ɵcircunferencia=2RRƟcircunferencia=2
Como una circunferencia corresponde a 360º, se obtiene la relación 360º=2𝝅rad
0º= 2𝝅rad
90º= ½ 𝝅rad
180º=𝝅rad
270= 3/2𝝅rad
360º= 2𝝅rad
.
.
.
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Esto nos permite relacionar las razones trigonométricas de este ángulo con las de cualquier otro.
Razones trigonométricas de 90º, 180º, 270º y 360º
Teniendo en cuenta que sen(α)= y; cos(α)= x.
sen(90º)= 1; cos(90º)= 0
sen(180º)= 0; cos(180º)= -1
sen(270º)= -1; cos(270º)= 0.
sen(360º)= 0; cos(360º)= 1.
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Signo de las funciones trigonométricas por cuadrante
El centro de la circunferencia(o) coincide con el origen de los ejes, por lo que aquellos ángulos que se sitúen:
En el primer cuadrante: al estar por encima del eje x→ y es positivo→ sen(α) es positivo.
al estar a la derecha del eje y→ x es positiva→ cos(α) es positivo.
En el segundo cuadrante: al estar por encima del eje x→ y es positivo→ sen(α) es positivo.
al estar a la izquierda del eje y→ x es negativa→ cos(α) es negativo.
En el tercer cuadrante: al estar por debajo del eje x→ y es negativo→ sen(α) es negativo.
al estar a la izquierda del eje y→ x es negativa→ cos(α) es negativo.
En el cuarto cuadrante: al estar por debajo del eje x→ y es negativo→ sen(α) es negativo.
al estar a la derecha del eje y→ x es positiva→ cos(α) es positiva.
Como la tangente es igual a seno (α) coseno (α) → aquellos ángulos que se sitúen:
En el primer cuadrante: como sen(α) es positivo y cos(α) es positivo→ tg(α) ++es positiva
En el segundo cuadrante: como sen(α) es positivo y cos(α) es negativo→ tg (α) +-es negativa
En el tercer cuadrante: como sen(α) es negativo y cos(α) es negativo→ tg(α) --es positiva
En el cuarto cuadrante: como sen(α) es negativo y cos(α) es positiva→ tg(α) -+es negativa
Razones ángulos suplementarios, complementarios y opuestos
Relacionar las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos con ángulos del primer cuadrante.
2º Cuadrante 90º < α <180º
Se dice que dos ángulos son suplementarios si suman 180º ( π rad).
Ángulos suplementarios
Siempre que dos ángulos α y β ( β > α) sumen 180º (π rad) se cumple que α + β = 180º o lo que es lo mismo:
𝛽=180º−𝛼
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En la figura se muestran dos ángulos suplementarios cualesquiera α y β
El primero está determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP' .
El ángulo β al atravesar el semieje Y positivo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OPQ creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α.
Así, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β), con la diferencia de que al encontrarse en el segundo cuadrante el valor de la abcisa es negativa y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q' (sin β).Por lo que:
sen ( 180° - α ) = sen α
cos( 180° - α ) = - cos α
tan ( 180° - α ) = - tg α
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Ejemplo: hallar el seno, el coseno y la tangente de 135°
180º - 135º = 45º⇛ α= 45º
sen 135º= sen 45º= 1/2
cos 135º= - cos 45º= -1/2
tg 135º= - tg 45º= -1
Tercer cuadrante 180° < α < 270°
Ángulos que difieren 180º ( π rad )
Siempre que dos ángulos α y difieran 180º se cumple que β - α = 180º o o lo que es lo mismo:
𝛽=180º+𝛼
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Se muestran dos ángulos α y β que difieren 180º, el primero está determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP' .
El ángulo β al atravesar el semieje X negativo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OQP creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α.
Así, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q' (sin β) con la diferencia en ambos casos de que al encontrarse el segmento OP' en el tercer cuadrante el valor de la abcisa y de la ordenada es negativa. Por tanto:
sen (α -180º) = - sen α
cos( α -180º) = - cos α
tan (α -180º) = tg α
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Ejemplo: hallar el seno, coseno y la tangente de 210°
Cuarto cuadrante 270° < α < 360° ángulos opuestos - α o 360° - α
Ángulos Opuestos
Siempre que dos ángulos α y β sean opuestos se cumple que α+ β = 360º o lo que es lo mismo:
𝛽 =360º−𝛼
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En la figura se muestran dos ángulos α y β que suman 360º (ángulos opuestos), el primero está determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP' .
El ángulo β al atravesar el semieje Y negativo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OQP creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α.
Así, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q' (sin β) con la diferencia que en este último caso de que al encontrarse el segmento OP' en el cuarto cuadrante el valor de la ordenada es negativa. Por tanto:
sen ( 360° - α ) = - sen α
cos( 360° - α ) = cos α
tan ( 360° - α ) = - tan α
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Ejemplo: hallar el seno, coseno y la tangente de 315°
360º- α= 315 º⇛ α= 45º
sen 315º= - sen 45º= -1/2
cos 315º= cos45º= 1/2
tg 315º= - tg 45º= -1